- 「逆」は中2で習うが、概念は小4から使っている
- 小学生は、条件ではなく見た目で判断してしまいがち
- 定理は「長さを求める」、逆は「形を言い当てる」道具
- メネラウスの定理も、同じ理屈でできている
数か月前、高校生がメネラウスの定理を解いていました。
問題集には、
メネラウスの定理
メネラウスの定理の逆
の両方を扱う問題が掲載されていました。
なんとなく不安に思ったので聞いてみました。
「この『逆』って、何をやってるか分かる？」
「……分かりません」
これは、その子だけの話ではなく、「逆」の意味を分からないまま数学を解いている生徒は、思いのほか多いと思っています。
兵庫県の公立高校入試で、数学の偏差値60を超えていない場合、この傾向はとくに強いと感じています。努力はしているんだけど、なかなか数学の偏差値が60を突破しない。または突破するも安定しない。
定期テストでは80点取れるのだけど兵庫県公立高校入試数学偏差値60は突破できない。
本人もなぜ成績が上がらないのか原因が分からない。
今日は、そんな盲点の話をします。
実は、小学4年生から使っている
「逆」という言葉を習うのは中2ですが、やっていること自体は、もっと前から始まっています。私は小学校の基礎が大事、基礎≠簡単な問題、だとよく言っていますが、その話にもつながります。
「長方形をかきなさい」
「長方形をかきなさい」と言われれば、小4の子は、
4つの角を直角にする。
そして「これで長方形になった」
と判断します。
性質を作って、形を決めています。
これが「逆」です。
もとの文 長方形ならば、4つの角は直角
逆の文 4つの角が直角ならば、長方形
※正確には、4つの角が直角な四角形は「長方形または正方形」です。
でも、小学生も「逆」が苦手です
問題文で逆を問われたとき、多くの子が、見た目で答えてしまいます。
「4つの角が直角な四角形を、何といいますか」
→ 図を見て、正方形っぽいから「正方形」
理由ではなく、印象で判断している。
※答えは「長方形」です。正方形は、長方形のうち4つの辺も等しいものを指します。角の条件だけでは、正方形と決めることはできません。
「2つの辺が等しい三角形を、何といいますか」
→ 図が細長いと「二等辺三角形」、図が平たいと迷います。
条件を確認することなく、形を見ています。
※正三角形も、2つの辺が等しい三角形に含まれます。見た目ではなく、条件で判断する必要があります。
結果、「逆」を使いこなすことなく中学に上がります。
そして中2で「逆」という言葉を習い、意味が分からないまま高校へ進みます。
小学校の間は、上記のような問題は登場しませんが、逆の考え方を使って面積や辺の長さを求めたりします。
中学2年で、名前がつく
「〇〇の定理の逆」は、高校で急に出てくる言葉ではありません。
中2の図形で、必ず習います。
- 二等辺三角形の定理の逆（中2）
- 平行線と角の定理の逆（中2）
- 平行四辺形になる条件（中2）
- 三平方の定理の逆（中3）
- 円周角の定理の逆（中3）
- メネラウスの定理の逆（高2）
- チェバの定理の逆（高2）
中学で習う「逆」を、2つ見ておきましょう。何が分かっていて、何を言いたいのかが入れ替わります。
もとの文と、逆の文
もとの文
2つの辺が等しい三角形は、2つの角が等しい
逆の文
2つの角が等しい三角形は、2つの辺が等しい
「ならば」の前と後ろを、入れ替えただけです。
AならばB → BならばA
これが「逆」です。
「逆」そのものは中2で習います。高校では、これに「裏」「対偶」が加わり、必要条件・十分条件として整理されます。つまり、小学校から高校まで、同じ考え方が形を変えて出てくるということです。
逆は、いつでも正しいわけではない
ここが大事なところです。
もとの文 正方形ならば、4つの角が等しい → 正しい
逆の文 4つの角が等しいならば、正方形 → 間違い
長方形があります。
※4つの角が等しい四角形は「長方形」です（正方形もその一種）。「正方形だ」と言い切ることはできません。
もう一つ。
もとの文 x = 3 ならば、x² = 9 → 正しい
逆の文 x² = 9 ならば、x = 3 → 間違い
x = −3 があります。
もとの文が正しくても、逆が正しいとは限らない。
だから、逆が常に正しいと分かっているときだけ、「○○の定理の逆」という名前がつきます。
なぜ「逆」が必要なのか
使い道が、まったく違うからです。
定理｜分かっていることから、性質を導く
この三角形は二等辺三角形だ
↓
だから、2つの角は等しい
形が分かっている → 性質が分かる
定理の逆｜性質から、形を言い当てる
2つの角が等しい
↓
だから、この三角形は二等辺三角形だ
性質が分かっている → 形が分かる
※こちらは逆が成り立ちます。「2つの角が等しい三角形は二等辺三角形である」は、中2で証明する定理です。
証明問題で使うのは、ほとんどが「逆」のほうです。
「〜であることを証明せよ」と言われたら、性質から形を結論づけることになります。
メネラウスの定理
高校2年の「図形の性質」で出てきます。
定理そのもの
三角形ABCがあり、1本の直線が3辺（またはその延長）と点P、Q、Rで交わるとき、辺の比の積が1になります。
APPB × BQQC × CRRA = 1
何に使うか
3点が1直線上にある（分かっている）
↓
辺の比を求める
長さを求めるための道具です。
メネラウスの定理の逆
入れ替わるのは、ここです。
定理 直線が引かれている → 比の積が1
逆 比の積が1 → 3点は1直線上にある
何に使うか
辺の比を計算したら、積が1になった
↓
だから、この3点は1直線上に並んでいる
「3点が同一直線上にあることを証明せよ」
こう聞かれたときに使います。
定理は、長さを求めたいとき。
逆は、1直線上にあることを示したいとき。
まったく別の場面で使います。
分からないまま解いている子に、何が起きているか
問題集に「メネラウスの定理の逆」と書いてある
↓
公式を暗記する
↓
似た問題は解ける
↓
でも、いつ使うかが分からない
「どちらを使えばいいか」を考えることができなく、問題集の解答をひたすら暗記します。
見分け方は、単純です
問題文に「1直線上にある」と書いてある
→ 定理を使う（長さを求める）
問題文が「1直線上にあることを示せ」
→ 逆を使う（並んでいることを証明する）
何が分かっていて、何を言いたいのか。
単純なのですが、ここを読み取れるかどうかです。
小4から高2まで、同じところでつまずく
| 小4 | 言葉はないが、作図で使っている |
| 中2 | 「逆」という名前を知る |
| 中3 | 三平方の定理と、その逆 |
| 高2 | メネラウスの定理と、その逆 チェバの定理と、その逆 |
同じ考え方が、学年を越えて出てきます。
小学校で「見た目で判断する」まま通過し、中学で「逆って何？」のまま通過すると、高校で同じところで困っています。過去にも本当は困っていたはずなのに、困っていたことを忘れ、困っていると思わなくなります。
そして、高校では誰も「逆とは」から説明してくれないでしょう。説明されても覚えてないことがおおいでしょう。
成績が上がらないとは、こういう小さな積み重ねの総体です。分かったとしても試行錯誤の時間が必要です。試行錯誤の時間が少ないと「気が付く感」が養われません。
こういうことが、何個も何個も塵ツモです。
確かめ方
お子さんに、こう聞いてみてください。
「二等辺三角形の定理の逆って、何？」
答えられなければ、そこが伸びしろです。
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「逆」についてよくある質問
- Q数学の「逆」とは何ですか？
- A
「AならばB」という文の、前と後ろを入れ替えて「BならばA」としたものです。たとえば「二等辺三角形ならば2つの角が等しい」の逆は、「2つの角が等しければ二等辺三角形である」になります。
- Qもとの文が正しければ、逆も正しいのですか？
- A
限りません。「正方形ならば4つの角が等しい」は正しいですが、逆の「4つの角が等しければ正方形」は間違いです。長方形があるからです。逆が正しいと証明されているときだけ、「○○の定理の逆」という名前がつきます。
- Q定理と、定理の逆は、どう使い分けますか？
- A
定理は「形が分かっているとき、性質を導く」ために使います。逆は「性質が分かっているとき、形を言い当てる」ために使います。証明問題で使うのは、ほとんどが逆のほうです。
- Qメネラウスの定理と、その逆の違いは？
- A
定理は、直線が引かれていると分かっているときに、辺の比を求める道具です。逆は、辺の比の積が1だと計算できたときに、3点が1直線上にあると示す道具です。問題文が「1直線上にあることを示せ」なら、逆を使います。
- Q「逆」はいつ習いますか？
- A
言葉として習うのは中学2年の図形です。ただし、概念としては小学4年の作図からすでに使っています。「4つの角を直角にしたから長方形だ」という判断が、まさに逆の考え方です。
- Q子どもが「逆」を理解しているか、どう確かめますか？
- A
「二等辺三角形の定理の逆って、何？」と聞いてみてください。答えられなければ、中2の教科書に戻れば1ページで解決します。